若abc都是小于1的正数,求证：（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a中至少有一个不大于0.25?

Question

若abc都是小于1的正数,求证：（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a中至少有一个不大于0.25?

Answer 1

反证法：
假设（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a均大于0.25
即√[(1-a)b],√[(1-b)c],√[(1-c)a]均大于0.5
由于a,b,c是小于1的整数
所以应用不等式(x+y)/2>=√(xy)
可得
(1-a)+b>1,(1-b)+c>1,(1-c)+a>1
即
b>a,c>b,a>c
很明显矛盾
则假设不正确
所以（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a中至少有一个不大于0.25