已知＝（c，0），＝（n，n），||的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：①||＝||（a＞c＞0）；②＝λ（其中＝（t)，λ≠0，t∈R）；③动点P的

Question

已知 ＝（c，0）， ＝（n，n），| |的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：

①| |＝ | |（a＞c＞0）；

② ＝λ （其中 ＝（ t)，λ≠0，t∈R）；

③动点P的轨迹C经过点B（0，-1）.

（1）求c的值；

（2）求曲线C的方程；

（3）是否存在方向向量为a ₀ ＝（1，k）（k≠0）的直线l，使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且| |＝| |？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解:（1）解法一：| |= ，当n= 时，| | _min = =1，所以c= .

解法二：设G（x，y），则G在直线y=x上，所以| |的最小值为点F到直线y=x的距离，即 =1，得c= .                                            

（2）∵ =λ (λ≠0) ∴PE垂直于直线x= 又| |= | |（a＞c＞0） ∴点P在以F为焦点，x= 为准线的椭圆上.设P（x，y），则有 | -x|，将点B（0，-1）代入，解得a= ，∴曲线C的方程为 +y ² =1.                                                                  

（3）假设存在方向向量为a ₀ =（1，k）（k≠0）的直线l满足条件 则可设l：y=kx+m（k≠0），与椭圆 +y ² =1联立，消去y得（1+3k ² ）x ² +6kmx+3m ² -3=0.由判别式Δ＞0，可得m ² ＜3k ² +1.

                                                                            ①

设M（x ₁ ，y ₁ ），N（x ₂ ，y ₂ ），MN的中点P（x ₀ ，y ₀ ），由| |=| |，则有BP⊥MN.韦达式定理代入k _BP =- ，可得到m= .     ②                              

联立①②，可得到k ² -1＜0，∵k≠0，∴-1＜k＜0或0＜k＜1.

即存在k∈（-1，0）∪（0，1），使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且| |=| |.