已知函数f(x)=lnxx，关于x的不等式f2（x）-af（x）>0有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（）A.[ln55B.[ln55C.(ln55，ln22]D.(ln55，ln33]

Question

已知函数f(x)=

(lnx)/(x)，关于x的不等式f²（x）-af（x）>0有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（　　）

A. [

(ln5)/(5)

B. [

(ln5)/(5)

C. (

(ln5)/(5)，(ln2)/(2)]

D. (

(ln5)/(5)，(ln3)/(3)]

Answer 1

（1）f′（x）=(1-lnx)/(x2)，
令f′（x）>0，解得：0<x<e，
令f′（x）<0，解得：x>e，
∴f（x）的递增区间为（0，e），递减区间为（e，+∞），
故f（x）的最大值是f（e）=(1)/(e)，
x→+∞时，f（x）→0，x→0时，x→-∞，f（1）=0，
故在（0，1）时，f（x）<0，在（1，+∞）时，f（x）>0，
∴a<0时，由不等式f²（x）-af（x）>0得f（x）>0或f（x）<a，
而f（x）>0的解集为（1，+∞），整数解有无数多个，不合题意；
a=0时，由不等式f²（x）-af（x）>0，得f（x）≠0，解集为（0，1）∪（1，+∞），
整数解有无数多个，不合题意；
a>0时，由不等式f²（x）-af（x）>0，得f（x）>a或f（x）<0，
∵f（x）<0的解集为（0，1）无整数解，
若不等式f²（x）-af（x）>0有且只有三个整数解，
∵f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
而2<e<3，f（2）=f（4），
所以，三个正整数为3，4，5，而f（4）=(ln2)/(2)，
综上，实数a的取值范围是[(ln5)/(5)，(ln2)/(2)），
故选：A．