设R(A)={Ax|x属于R},N(A)={x属于R|Ax=0},若A与A^2有相同的秩,求证,R=R(A)+N(A),急

Question

设R(A)={Ax|x属于R},N(A)={x属于R|Ax=0},若A与A^2有相同的秩,求证,R=R(A)+N(A),急

Answer 1

对这个问题换一个表述方式,以便后面的讨论.
已知空间V,令R(A)={Ax|x∈V},N(A)={x∈V|Ax=0},如果r(A)=r(A^2),证明V是R(A)与N(A)的直和,
即证V=R(A)⊕N(A).这里用直和符号⊕,以与和符号＋区别开.
proof:
不妨令V维度为n,dim(R(A))=r,那么可知dim(N(A))＝n-r.
因此dim(R(A)+N(A))=dim(R(A))+dim(N(A))-dim(R(A)∩N(A))=n-dim(R(A)∩N(A))
如果我能证明交空间R(A)∩N(A)的维度为0,那么dim(R(A)+N(A))=n,也就是说R(A)与N(A)的基刚好可组成V空间的一组基,这也就是直和V=R(A)⊕N(A)的定义.
令W＝R(A)∩N(A),现在用反证法来说明w维度为0,即w＝{0}.
假设存在非0向量x∈W,那么x∈N(A) 同时 x∈R(A).
x∈N(A),说明Ax=0;x∈R(A) 说明存在非0的y,使得Ay=x.
2式代入1式,得到A^2*y=0.很容易想到这个等式可以推出与r(A)=r(A^2)的矛盾,那我们来看看怎么推出矛盾.
对任意Ax＝0的解X,X也是A^2x=0的解.这说明n-r(A)≦n-r(A^2).现在来说明这个等号不成立.
刚才我们有,A^2*y=0 而A*y=x≠0 ,这也代表A^2的解空间至少比A的解空间多一个y
用公式表示：n-r(A)