设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续(a>0),且f(0)=0,证明:在[-a,a]上至少存在一点ε,使得a^3f''(ε)=3∫[-a,a]f(x)dx

Question

设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续(a>0),且f(0)=0,证明:在[-a,a]上至少存在一点ε,使得a^3f''(ε)=3∫[-a,a]f(x)dx

Answer 1

f''(x)在[-a,a]上连续,∴f''(x)在[-a,a]上能取到最大值和最小值,
设该最大值为A,该最小值为B,则A≤f''(x)≤B,x∈[-a,a]
则∫[0,x]Adt≤∫[0,x]f''(t)dt≤∫[0,x]Bdt,x∈[-a,a]
=>Ax≤f'(x)-f'(0)≤Bx
=>Ax+f'(0)≤f'(x)≤Bx+f'(0)
再从0到x积分得
Ax²/2+f'(0)x≤f(x)-f(0)≤Bx²/2+f'(0)x,∵f(0)=0
所以上式对x从-a到a积分得
a³A/3≤∫[-a,a]f(x)dx≤a³B/3,即
a³A≤3∫[-a,a]f(x)dx≤a³B
∴3∫[-a,a]f(x)dx∈[a³A,a³B]
而[a³A,a³B]为连续函数a³f''(x)在[-a,a]上的值域
∴由介值定理知存在ε∈[-a,a],使得a³f''(ε)=3∫[-a,a]f(x)dx