已知a.b.c>0求证a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3

Question

已知a.b.c>0 求证a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3

Answer 1

【注：若x≥y>0.===>x/y≥1,且x-y≥0.===>(x/y)^(x-y)≥1.===>(x/y)^x≥(x/y)^y.===>(x^x)(y^y)≥(x^y)(y^x).由此可得引理：若x≥y>0,则(x^x)(y^y)≥(x^y)(y^x).】证明：不妨设a≥b≥c>0.则由引理可知,(a^a)(b^b)≥(a^b)(b^a)>0.（b^b)(c^c)≥(b^c)(c^b)>0,(a^a)(c^c)≥(a^c)(c^a)>0.又(a^a)(b^b)(c^c)=(a^a)(b^b)(c^c).以上四式相乘可得：[(a^a)(b^b)(c^c)]^3≥(abc)^(a+b+c)>0.两边再开3次方,可得(a^a)(b^b)(c^c)≥(abc)^[(a+b+c)/3].证毕!