设函数f（x）在[0，+∞）上可导，f（0）=0，且limx→+∞f(x)＝2，证明（1）存在a＞0，使得f（a）=1；（2）对（1）中的a，存在ξ∈（0，a），使得f′(ξ)＝1a．

Question

设函数f（x）在[0，+∞）上可导，f（0）=0，且

lim

x→+∞

f(x)＝2，证明
（1）存在a＞0，使得f（a）=1；
（2）对（1）中的a，存在ξ∈（0，a），使得f′(ξ)＝(1)/(a)．

Answer 1

证明：
（1）由于

lim

x→+∞

f(x)＝2，所以对∀ɛ＞0，∃X＞0，当x＞X时，2-ɛ＜f（x）＜2+ɛ恒成立，令ɛ＝(1)/(2)，则有(3)/(2)＜f(x)＜(5)/(2)
又由于f（x）在[0，+∞）上连续，且f（0）=0，由介值定理，存在a＞0，使得f（a）=1；
（2）函数f（x）在[0，a]上可导，由拉格朗日中值定理，
存在ξ∈（0，a），使得f′(ξ)＝(f(a)−f(0))/(a)＝(1)/(a)．