已知fn（x）=（1+x）+2（1+x）2+…+n（1+x）n=an0+an1x+…+annxn，n∈N*，这些系数可形成如下数阵：（1）求出a31，a32的值；（2）若n=9，求a91+a95+a97+a99的值；（3）求数列{aij}（其中i，j∈N*，且1≤j≤i

Question

已知f_n（x）=（1+x）+2（1+x）²+…+n（1+x）ⁿ=a_n0+a_n1x+…+a_nnxⁿ，n∈N^*，这些系数可形成如下数阵：
（1）求出a₃₁，a₃₂的值；
（2）若n=9，求a₉₁+a₉₅+a₉₇+a₉₉的值；
（3）求数列{a_ij}（其中i，j∈N^*，且1≤j≤i≤n）的和S．

Answer 1

本题考查排列与组合与二项式的综合题，由题设条件先将二项式的系数与数阵中的符号对应，
（1）由矩阵中的数与二项式系数的对应求出两数的值；
（2）根据二项式的性质，求出所有偶数项的系数的和，再从中排除a₉₃既得；
（3）要求数列{a_ij}（其中i，j∈N^*，且1≤j≤i≤n）的和S，可先求出每一行的和，再求出S．
【解析】
（1）由题意得a₃₁=1+2C₂¹+3C₃¹=14，a₃₂=2C₂²+3C₃²=11…..（2分）
 （2）∵a₉₁+a₉₃+a₉₅+a₉₇+a₉₉==1+2×2+3×2²+…+9×2⁸=4097…..（4分）
而a₉₃=3C₃³+4C₄³+…+9C₉³1638
∴a₉₁+a₉₅+a₉₇+a₉₉=4097-1638=2459…（6分）
（3）S_i==2+2×2²+3×2³+…+i×2ⁱ…..①
2S_i=2=2²+2×2³+3×2⁴+…+i×2ⁱ⁺¹…②
由①-②，得
-S_i=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁱ-i×2ⁱ⁺¹=-i×2ⁱ⁺¹=（1-i）×2ⁱ⁺¹-2
∴S_i=2+（i-1）×2ⁱ⁺¹  …（9分）
而=
∴s==2n+2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹- 
s′=2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹③
2s′=2⁴+2×2⁵+3×2⁶+…+（n-1）×2ⁿ⁺²④
由③-④，得-s′=2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（n-1）×2ⁿ⁺²=-（n-1）×2ⁿ⁺²=（2-n）×2ⁿ⁺²-8s′=8+（n-2）×2ⁿ⁺² 
∴s=2n+8+（n-2）×2ⁿ⁺²-=2n+8+（n-2）×2ⁿ⁺²- 
s=2n+8+（n-2）×2ⁿ⁺²-…..（12分）