一道关于复数的题请问怎么求w的轨迹w=(z-2i)/(1-z),|z|=2对不起，还有两题——1.z=cos(a)+isin(a)第一部分要求证明tan(na)=(z^[2n]-1)/{i(z^[2n]+1)}，(n是任何正整数)-这部分我做出来了我想请

Question

一道关于复数的题
请问怎么求w的轨迹
w = (z-2i)/(1-z),|z| = 2
对不起，还有两题——
1.
z = cos(a) + isin(a)
第一部分要求证明 tan(na) = (z^[2n] - 1)/{i(z^[2n] + 1)}，(n是任何正整数) - 这部分我做出来了
我想请问第二部分：证明tan(a) + 2tan(2a) + 4tan(4a) = cot(a) - 8cot(8a)
2.
(1+z)^[2n+1] = (1-z)^[2n+1]
谢谢捷克铁人的回答！但第一题规定必须由第一部分证出的式子来求证第二部分。

Answer 1

由w=(z-2i)/(1-z),得到z=(w+2i)/(w+1),带入|z|=2,知w的轨迹是复平面上到点(0,-2i)与到点(0,-1)距离比为2的点,这是一个阿波罗尼圆,这个轨迹怎么求,相信你肯定会把?转到笛卡尔坐标系算就是了
第1题不用复数可以证明...
cota-cot8a=1/tana-8/tan8a
=1/tana-8(1-tan^2(4a))/2tan4a==1/tana-4/tan4a+4tan4a
=1/tana-4(1-tan^2(2a))/2tan2a+4tan4a
=1/tana-2/tan2a+2tan2a+4tan4a
=1/tana-2(1-tan^2(a))/2tana+2tan2a+4tan4a
=左边
tan^2(a)代表tana的平方
第二题
|1+z|=|1-z|,故(1+z)(1+z共轭)=(1-z)(1-z共轭),展开后得到z+z共轭=0,设z=bi.(1+bi)^(2n+1)=(1-bi)^(2n+1),两边消去模,令cosx=1/sqrt(b^2+1),sinx=b/sqrt(b^2+1)(b正负无所谓,两边对称,这里不妨令b非负,x在第一象限）.代到原式中,得到(cosx+isinx)^(2n+1)=(cosx-isinx)^(2n+1),即cos(2n+1)x=cos(2n+1)x,sin(2n+1)x=-sin(2n+1)x,于是sin(2n+1)x=0,x=(k*pi)/2n+1,k=0,1...带入sinx=b/sqrt(b^2+1)里面进行计算,注意最后取正负的问题