求函数z=y^3-x^2+6x-12y+5的极值

Question

求函数z=y^3-x^2+6x-12y+5的极值

Answer 1

二元极值确定分两步：
1.F（x、y）分别对x,y求偏导,目的是联立偏导方程,找出驻点.
2.Fxx*Fyy和Fxy*Fyx的相对数值大小作为判断依据,目的就是,判断第一步中驻点是否为极值点.
二元（或都多元）极值的求法思想与一元完全类似,试回忆一元函数求极值：
1.f'(x)=0,找出驻点.
2.f''(x)判断,驻点是否为极值.

设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 , 又
f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ,
f y ( x 0 , y 0 ) = 0 ,
令
f xx ( x 0 , y 0 ) = A ,
f xy ( x 0 , y 0 ) = B ,
f yy ( x 0 , y 0 ) = C ,
则 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处是否取得极值的条件如下：
(1) AC - B^2 >0 时具有极值 , 且当 A 0 时有极小值 ;
(2) AC - B^2 0 , 则函数具有极值 , 且
当 f xx 0 时有极小值.