设x,y,z都是正数，且3^x=4^y=6^z,求证：1/z-1/x=1/2y∵x,y,z都是正数，且3^x=4^y=6^z∴lg(3^x)=lg(4^y)=lg(6^z)即：xlg3=ylg4=zlg6设xlg3=ylg4=zlg6=k则x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg61/z-1/x=1/(k/lg6)-1/(k/lg3)=lg6/k-lg3/k=(lg6-lg3)/k=lg

Question

设x,y,z都是正数，且3^x=4^y=6^z,求证：1/z-1/x=1/2y∵x,y,z都是正数，且3^x=4^y=6^z ∴lg(3^x)=lg(4^y)=lg(6^z) 即：xlg3=ylg4=zlg6 设xlg3=ylg4=zlg6=k 则x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6 1/z-1/x =1/(k/lg6)-1/(k/lg3) =lg6/k-lg3/k =(lg6-lg3)/k =lg2/k 1/2y =1/(2k/lg4) =lg4/(2k) =2lg2/(2k) =lg2/k ∴1/z-1/x=1/2y得证 但是要比较3x,4y,6z的大小,怎么比?

Answer 1

既然已推断出：x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6。 但是粗略的比较下三个数，分母都不一样，那么求差比较大小是比较复杂的事情；而他们的分子都是k，所以比较3x,4y,6z的大小,我们可以从其倒数来考虑。 则1/3x=lg3/3k，1/4y=lg4/4k，1/6z=lg6/6k。分别求差得： 1/3x-1/4y=lg3/3k-lg4/4k=（4lg3-3lg4）/12k，因为（4lg3-3lg4）为大于0的数，且k亦大于0，所以1/3x-1/4y>0，由此可推3x