已知：a,b,c,d为正有理数,且满足z^4+b^4+c^4+d^4=4abcd.求证：a=b=c=d.应该是a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd，刚才输错了

Question

已知：a,b,c,d为正有理数,且满足z^4+b^4+c^4+d^4=4abcd.求证：a=b=c=d.
应该是a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd，刚才输错了

Answer 1

我觉得是这样的：
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd
(a^2 -b^2)^2 + 2a^2b^2 + (c^2 - d^2)^2 + 2c^2d^2 = 4abcd
(a^2 - b^2)^2 + (c^2 - d^2)^2 + 2(a^2b^2 + c^2d^2 - 2abcd) = 0
(a^2 - b^2)^2 + (c^2 - d^2)^2 + 2(a^2b^2 - c^2d^2)^2 = 0
所以有 a^2 - b^2 = 0 c^2 - d^2 = 0 a^2b^2 - c^2d^2 = 0
所以 a^2 = b^2 c^2 = d^2 a^2b^2 = c^2d^2
因为 a、b、c、d 都是正有理数
所以 a = b c = d ab = cd
所以 a^2 = c^2
所以 a = b = c = d