z-x^2y^3=0在(1,1,1)的切平面方程是2求f(x,y)=x^3+y^3-3xy+1的极小值为3L是在圆周y=根号下2x-x^2上由点（0,0)到点(1,1)的一段弧求曲线积分∫（x^2-y)dx-(x+sin^2y)dy,

Question

z-x^2y^3=0 在(1,1,1)的切平面方程是
2 求f(x,y)=x^3+y^3-3xy+1的极小值为
3 L是在圆周y=根号下2x-x^2上由点（0,0)到点(1,1)的一段弧
求曲线积分∫（x^2-y)dx-(x+sin^2y)dy,

Answer 1

1,求出方程z=x^2y^3的两个偏导数,ðz/ðx=2xy^3,ðz/ðy=3x^2y^2,把(1,1,1)坐标代入,得到法向量n=(2,3,-1),所以切平面方程为2(x-1)+3(y-1)-(z-1)=0,即2x+3y-z=4.
2,求出两个偏导数并令其等于0即可,ðf/ðx=3x^2-3y=0,ðf/ðy=3y^2-3x=0,解得x=y=1或x=y=0,因此极小值=0.
3,利用格林公式,补充曲线L1;(1,1)到(1,0),L2:(1,0)到(0,0),则根据格林公式,在闭曲线L+L1+L2上的积分=-∫∫[ð(x+sin^2y)/ðx-ð(x^2-y)/ðy]dxdy=-2∫∫dxdy=-π/2,而对L1,x=1,dx=0,
积分=-∫(1+sin^2y)dy=3/2-(sin2)/4,对L2,y=0,dy=0,积分=∫x^2dx=-1/3,所以原积分=-π/2-3/2+(sin2)/4+1/3=-π/2+(sin2)/4-7/6.