设∑为曲面z=x^2+y^2及平面z=1所围封闭曲面的内侧,计算积分I=∫∫∑x^3dydz+y^3dzdx+(3z^2-x^2y^2)dxdy我使用高斯公式计算结果为—5/2π,但答案为—5/6π.我没有找到具体的答案解析,自己检验了几遍也没

Question

设∑为曲面z=x^2+y^2及平面z=1所围封闭曲面的内侧,计算积分I=∫∫∑x^3dydz+y^3dzdx+(3z^2-x^2y^2)dxdy
我使用高斯公式计算结果为—5/2π,但答案为—5/6π.我没有找到具体的答案解析,自己检验了几遍也没找出哪儿错了,

Answer 1

Gauss公式：
原式=-∫∫∫ 3(x²+y²+2z)dxdydz
用柱坐标
=-∫∫∫ 3(r²+2z)rdzdrdθ
=-∫[0→2π]dθ∫[0→1]dr∫[r²→1] 3(r²+2z)rdz
=-2π∫[0→1]dr∫ 3r(r²z+z²) |[r²→1]dz
=-6π∫[0→1] (r³+r-2r^5) dr
=-6π[(1/4)r^4+(1/2)r²-(1/3)r^6] |[0→1]
=-5/2π
我的结果与你的一样,看来是答案错了.