设实数x,y,m,n满足x^2+y^2=3,m^2+n^2=1,若a≥mx+ny恒成立,求a的取值范围(x-m)^2≥0(x^2+m^2)/2≥xm(y-n)^2≥0(y^2+n^2)/2≥yn(x^2+m^2+y^2+n^2)/2≥xm+yn2≥xm+yna≥xm+yna≥2这个做法为什么是错误的?正确解法是什么?

Question

设实数x,y,m,n满足x^2+y^2=3,m^2+n^2=1,若a≥mx+ny恒成立,求a的取值范围
(x-m)^2≥0
(x^2+m^2)/2≥xm
(y-n)^2≥0
(y^2+n^2)/2≥yn
(x^2+m^2+y^2+n^2)/2≥xm+yn
2≥xm+yn
a≥xm+yn
a≥2
这个做法为什么是错误的?
正确解法是什么?

Answer 1

x²＋y²=3,设：x=√3cosa、y=√3sina；
m²＋n²=1,设：m=cosb、n=sinb,
mx＋ny
=√3cosacosb＋√3sinasinb
=√3cos(a－b)
mx＋ny的取值范围是：[－√3,√3]