I=∫∫∫zdv,其中Ω由x^2+y^2+z^2=x^2+y^2所围成

Question

I=∫∫∫zdv,其中Ω由x^2+y^2+z^2<=2及z>=x^2+y^2所围成

Answer 1

{ x² + y² + z² ≤ 2、球体
{ x² + y² ≤ z、抛物面
S₁是抛物面(开口向上)、S₂是球顶(开口向下)：
∫∫∫(S) z dV
= ∫∫∫(S₁) z dV + ∫∫∫(S₂) z dV
= ∫∫(Dxy) dxdy ∫(r²→1) z dz + ∫∫(Dxy) dxdy ∫(1→√(2 - r²)) z dz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r dr ∫(r²→1) z dz + ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) r dr ∫(1→√(2 - r²)) z dz
= π/3 + π/4
= 7π/12
这题用球坐标做会有点难度,你试试吧.