1、已知a,b,c,d,均为整数,且a^5=b^4,c^3=d^2,a-c=65,则b-d=多少?2、证明：A=((x-y)+x+y-2z)+(x-y)+x+y+2z=4max{x,y,z},其中max{x,y,z}表示x,x,z这三个数中的最大者.（）表示绝对值

Question

1、已知a,b,c,d,均为整数,且a^5=b^4,c^3=d^2,a-c=65,则b-d=多少?
2、证明：A=((x-y)+x+y-2z)+(x-y)+x+y+2z=4max{x,y,z},
其中max{x,y,z}表示x,x,z这三个数中的最大者.
（）表示绝对值

Answer 1

由a^5=b^4得：a=b^4/a^4=(b^2/a^2)^2；
由c^3=d^2得：c=d^2/c^2=(d/c)^2；
代入c-a=19得
(d/c)^2-(b^2/a^2)^2=19
(d/c+b^2/a^2)×(d/c-b^2/a^2)=19=19×1
很明显,前一个括号的值大于后一个括号的,所以必有
d/c+b^2/a^2=19
d/c-b^2/a^2=1
上面两式相加,整理得：d/c=10,即d=10c；
上面两式相减,整理得：b^2/a^2=9,即b^2=9a^2,解得b=3a.
因为d=10c,b=3a,a^5=b^4,c^3=d^2,所以
c^3=d^2=(10c)^2=100c^2,解得c=100,从而d=10c=1000；
由c-a=19得a=c-19=100-19=81,从而b=3a=243.
综上,d-b=1000-243=757.
分析 欲证的等式中含有三个绝对值符号,且其中一个在另一个内,要把绝对值去掉似乎较为困难,但等式的另一边对我们有所提示,如果x为x,y,z中的最大者,即证A=4x,依次再考虑y,z是它们中的最大值便可证得．
证 (1)当x≥y,x≥z时,
A=│x-y+x+y-2z│＋x-y+x+y+2z
=2x-2z+2x+2z=4x.
(2)当y≥z,y≥x时,
A=│y-x+x+y-2z│+y-x+x+y+2z
=2y-2z+2y+2z=4y．
(3)当z≥x,z≥y时,因为
│x-y│＋x＋y=max｛x,y｝≤2z,
所以
A=2z-│x-y│-x-y+│x-y│+x+y+2z=4z．
从而 A=4max｛x,y,z｝．
答题完毕!