如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF=1，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为．

Question

如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF=1，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为___．

Answer 1

作点F关于AD的对称点G，过G作GN⊥AE与N，交AD于M，
则GN的长度等于MN+MF的最小值，
∵△DGM≌△DGF，
∴∠DMF=∠GMD，
∵∠GMD=∠AMN，
∵∠AMN+∠MAN=∠MAN+∠BAE=90°，
∴∠FMD=∠BAE=∠AMN，
∴△ABE∽△DMF∽△AMN，
∴(AB)/(BE)=(DM)/(DF)，
∵AB=4，
∴BE=2，
∵DF=1，
∴DM=2，
∴AM=2，
∵(AN)/(MN)=(BE)/(AB)=(1)/(2)，
∴MN=(4√(5))/(5)，
∵GM=√(DG2+DM2)=√(5)，
∴GN=GM+MN=MN+MF=(9√(5))/(5)．
∴MN+MF的最小值为(9√(5))/(5)，
故答案为：(9√(5))/(5)．