（2006•江西）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设ÐMGA=a（π3≤α≤2π3）（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函

Question

（2006•江西）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设ÐMGA=a（(π)/(3)≤α≤(2π)/(3)）
（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S₁与S₂）表示为a的函数．
（2）求y=(1)/(S12)+(1)/(S22)的最大值与最小值．

Answer 1

（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以AG=(2)/(3)×(√(3))/(2)＝(√(3))/(3)，
∠MAG=(π)/(6)，
由正弦定理(GM)/(sin(π)/(6))＝(GA)/(sin(π−α−(π)/(6)))
得GM＝(√(3))/(6sin(α+(π)/(6)))
则S₁=(1)/(2)GM•GA•sina=(sinα)/(12sin(α+(π)/(6)))
同理可求得S₂=(sinα)/(12sin(α−(π)/(6)))

（2）y=(1)/(y21)+(1)/(y22)=(144)/(sin2α)〔sin2(α+(π)/(6))+sin2(α−(π)/(6))〕
=72（3+cot²a）
因为(π)/(3)≤α≤(2π)/(3)，
所以当a=(π)/(3)或a=(2π)/(3)时，y取得最大值y_max=240
当a=(π)/(2)时，y取得最小值y_min=216