如图甲所示，质量为M的“∩”形金属框架MNPQ放在倾角为θ的绝缘斜面上，框架MN、PQ部分的电阻不计，相距为L，上端NP部分的电阻为R．一根光滑金属棒ab在平行于斜面的力（图中未画出）的

Question

如图甲所示，质量为M的“∩”形金属框架MNPQ放在倾角为θ的绝缘斜面上，框架MN、PQ部分的电阻不计，相距为L，上端NP部分的电阻为R．一根光滑金属棒ab在平行于斜面的力（图中未画出）的作用下，静止在距离框架上端NP为L的位置．整个装置处于垂直斜面向下的匀强磁场中，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，其中B₀、t₀均为已知量．已知ab棒的质量为m，电阻为R，长为L，与框架接触良好并始终相对斜面静止，t₀时刻框架也静止，框架与斜面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．求：

（1）t₀时刻，流过ab棒的电流大小和方向；
（2）0～t₀时间内，通过ab棒的电荷量及ab棒产生的热量；
（3）框架MNPQ什么时候开始运动？

Answer 1

（1）设回路中的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有：
E=n(△Φ)/(△t)=(△B)/(△t)S=(B0L2)/(t0)
由闭合电路欧姆定律可得金属棒中的电流大小为：
 I=(E)/(2R)=(B0L2)/(2Rt0)
由楞次定律知，金属棒中的电流方向是a→b． 
（2）由电荷量的计算公式可得流过ab棒的电荷量为：
q=It0=(B0L2)/(2R)
根据焦耳定律可得ab棒产生的热量为：
Q=I2Rt0=(B20L4)/(4Rt0)
（3）设经时间t框架恰好要动，对框架分析受力，有：
Mgsinθ+F_安=f
而 f=μ（M+m）gcosθ，
根据安培力的计算公式可得：F_安=B_tIL，
而磁感应强度为：
Bt=B0+(B0)/(t0)t
代入解得：
t=(2Rt20[μ(M+m)gcosθ-Mgsinθ])/(B20L3)-t0．
答：（1）t₀时刻，流过ab棒的电流大小为(B0L2)/(2Rt0)，方向是a→b；
（2）0～t₀时间内，通过ab棒的电荷量为(B0L2)/(2R)，ab棒产生的热量为(B20L4)/(4Rt0)；
（3）框架MNPQ经过(2Rt20[μ(M+m)gcosθ-Mgsinθ])/(B20L3)-t0开始运动．