如图①，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，求证：MN=AM+CN．如图②，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上．若∠MBN=12∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量

Question

如图①，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，求证：MN=AM+CN．
如图②，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上．若∠MBN=(1)/(2)∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想并给予证明．

Answer 1

（1）证明：如图1，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，
∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD=180°，
∴点M′、C、N三点共线，
∵∠MBN=45°=(1)/(2)∠ABC，
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=(1)/(2)∠ABC=45°，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
∵

BM=BM′

∠MBN=∠M′BN

BN=BN

，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N，
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，
∴MN=AM+CN；

（2） MN=AM+CN．
理由如下：
如图2，∵BC∥AD，AB=BC=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A+∠BCD=180°，
把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，
∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD=180°，
∴点M′、C、N三点共线，
∵∠MBN=(1)/(2)∠ABC，
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=(1)/(2)∠ABC，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
∵

BM=BM′

∠MBN=∠M′BN

BN=BN

，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N，
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，
∴MN=AM+CN．