已知：如图1，射线MN⊥AB，点C从M出发，沿射线MN运动，AM=1，MB=4．（1）当△ABC为等腰三角形时，求MC的长；（2）当△ABC为直角三角形时，求MC的长；（3）点C在运动的过程中，若△ABC为钝角三

Question

已知：如图1，射线MN⊥AB，点C从M出发，沿射线MN运动，AM=1，MB=4．

（1）当△ABC为等腰三角形时，求MC的长；
（2）当△ABC为直角三角形时，求MC的长；
（3）点C在运动的过程中，若△ABC为钝角三角形，则MC的长度范围___；若△ABC为锐角三角形，则MC的长度范围___．

Answer 1

（1）如图1，
当CB=AB时，在Rt△MCB，
∵MB=4，AM=1，
∴AB=5，
∴CM=√(52-42)=3；
当AB=AC时，
在Rt△MCA，
CM=√(52-12)=√(24)；
当AC=BC时，C在AB的垂直平分线上，与条件不合．
（2）如图，∵当∠ACB=90°时，由勾股定理得AC²+BC²=AB²，
又∵在Rt△MCA，由勾股定理得：AC²=AM²+CM²，
在Rt△MCB由勾股定理得：BC²=BM²+CM²，
∴AM²+CM²+BM²+CM²=AB²，
∵AM=1，MB=4，AB=5，
∴CM²+16=25，解得CM=2；
（3）∵由（2）得，当CM=2时，△ABC是直角三角形，
∴0＜CM＜2时，△ABC为钝角三角形；当CM＞2时，△ABC为锐角三角形．
故答案为：0＜CM＜2，CM＞2．