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已知实数x，y，z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值与最小值之和（）A.73B.83C.103D.113
题目详情
已知实数x，y，z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值与最小值之和（ ）
A. 7 3
B. 8 3
C. 10 3
D. 11 3
▼优质解答
答案和解析
∵x+y+z=5，
∴y=5-x-z．
将y=5-x-z代入xy+yz+zx=3得：
x（5-x-z）+（5-x-z）z+zx=3，
整理得：x2+（z-5）x+（z2-5z+3）=0．
∵x是实数，
∴关于x的一元二次方程x2+（z-5）x+（z2-5z+3）=0的判别式是（z-5）2-4（z2-5z+3）≥0，
解得：-1≤z≤
，
-1+
=
．
故选C．
∴y=5-x-z．
将y=5-x-z代入xy+yz+zx=3得：
x（5-x-z）+（5-x-z）z+zx=3，
整理得：x2+（z-5）x+（z2-5z+3）=0．
∵x是实数，
∴关于x的一元二次方程x2+（z-5）x+（z2-5z+3）=0的判别式是（z-5）2-4（z2-5z+3）≥0，
解得：-1≤z≤
| 13 |
| 3 |
-1+
| 13 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
故选C．
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