设z是虚数，满足ω＝z+1z是实数，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u＝1−z1+z．求证：u是纯虚数；（3）求ω-u2的最小值．

Question

设z是虚数，满足ω＝z+(1)/(z)是实数，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设u＝(1−z)/(1+z)．求证：u是纯虚数；
（3）求ω-u²的最小值．

Answer 1

（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则ω＝z+(1)/(z)＝a+bi+(1)/(a+bi)＝a+bi+(a−bi)/(a2+b2)＝a+(a)/(a2+b2)+(b−(b)/(a2+b2))i
∵ω∈R∴b−(b)/(a2+b2)＝0且b≠0得a²+b²=1即|z|=1
此时，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴−(1)/(2)＜a＜1即z的实部的取值范围为(−(1)/(2)，1)．…（4分）
（2）u＝(1−z)/(1+z)＝(1−(a+bi))/(1+(a+bi))＝([(1−a)−bi][(1+a)−bi])/((1+a)2+b2)．
∵a²+b²=1
∴u=−(b)/(1+a)i又b≠0，−(1)/(2)＜a＜1故u是纯虚数．…（8分）
（3）ω−u2＝2a+(b2)/((1+a)2)＝2a+(1−a2)/((1+a)2)=2a+(1−a)/(1+a)＝2[(a+1)+(1)/(a+1)]−3
由a∈(−(1)/(2)，1)知(a+1)+(1)/(a+1)≥2，
故当且仅当a+1＝(1)/(a+1)，a＝0时ω-u²的最小值为1．…（14分）．