设A＋B＋C＝π，且x，y，z∈R，求证：x2＋y2＋z2≥2yzcosA＋2xzcosB＋2xycosC．

Question

设A＋B＋C＝π，且x，y，z∈R，求证：

x ² ＋y ² ＋z ² ≥2yzcosA＋2xzcosB＋2xycosC．

Answer 1

答案：
解析：
　　证明：设f(x)＝x2＋y2＋z2－2yzcosA－2xzcosB－2xycosC 　　＝x2－2x(zcosB＋ycosC)＋y2＋z2－2yzcosA． 　　由A＋B＋C＝π知cosA＝－cos(B＋C) 　　＝－cosBcosC＋sinBsinC． 　　又Δ＝4(zcosB＋ycosC)2－4(y2＋z2－2yzcosA) 　　＝4(z2cos2B＋y2cos2C＋2yzcosBcosC－y2－z2＋2yzcosA) 　　＝4[－z2sin2B－y2sin2C＋2yzcosBcosC－2yzcos(B＋C)] 　　＝4(－z2sin2B－y2sin2C＋2yzsinBsinC) 　　＝－4(zsinB－ysinC)2≤0． 　　又二次项系数为1，∴f(x)对任意x恒有f(x)≥0． 　　也就是x2＋y2＋z2≥2yzcosA＋2xzcosB＋2xycosC． 　　当且仅当zsinB－ysinC＝0时，Δ＝0； 　　x＝zcosB＋ycosC时，f(x)＝0． 　　∴x2＋y2＋z2≥2yzcosA＋2xzcosB＋2xycosC， 　　当且仅当zsinB－ysinC＝0，zsinA－xsinC＝0，ysinA－xsinB＝0时，等号成立． 　　
分析：
我们可把待证不等式转化为某一字母的函数，利用函数的性质，作出简捷证明，只要函数构造得当，证明过程会特别简捷明快．