设u（x，y）=∫10f（t）|xy-t|dt，其中f（t）在[0，1]上连续，0≤x≤1，0≤y≤1，求∂2u∂x2，∂2u∂y2．

Question

设u（x，y）=

∫

1 0

f（t）|xy-t|dt，其中f（t）在[0，1]上连续，0≤x≤1，0≤y≤1，求(∂2u)/(∂x2)，(∂2u)/(∂y2)．

Answer 1

因为
u（x，y）=

∫

1 0

f(t)|xy−t|dt
=

∫

xy 0

f(t)(xy−t)dt+

∫

1 xy

f(t)(t−xy)dt
=xy

∫

xy 0

f(t)dt-

∫

xy 0

tf(t)dt+

∫

1 xy

tf(t)dt-xy

∫

1 xy

f(t)dt
=xy

∫

xy 0

f(t)dt-

∫

xy 0

tf(t)dt-

∫

xy 1

tf(t)dt+xy

∫

xy 1

f(t)dt，
所以，
(∂u)/(∂x)=y

∫

xy 0

f(t)dt+xy²f（xy）-xy²f（xy）-xy²f（xy）+y

∫

xy 1

f(t)dt+xy²f（xy）
=y

∫

xy 0

f(t)dt+y

∫

xy 1

f(t)dt，
(∂2u)/(∂x2)=(∂)/(∂x)((∂u)/(∂x))=y²f（xy）+y²f（xy）=2y²f（xy）．
同理，可以计算，
(∂u)/(∂y)=x

∫

xy 0

f(t)dt+x

∫

xy 1

f(t)dt，
(∂2u)/(∂y2)

作业帮用户 2016-11-20 举报