定积分题,彻底晕了……对x∫[0,x]f(u)du-∫[0,x]f(u)du-∫[0,x][∫[0,u]f(t)dt]du求导,怎么就等于零了……积分变限函数彻底学晕了,尤其是像第三个式子那样xtu混在一起的,谁是变量谁是常数,里一层外

Question

定积分题,彻底晕了……
对x∫[0,x]f(u)du-∫[0,x]f(u)du-∫[0,x][∫[0,u]f(t)dt]du 求导,怎么就等于零了……
积分变限函数彻底学晕了,尤其是像第三个式子那样xtu混在一起的,谁是变量谁是常数,里一层外一层的……该怎么入手哇T T明白的人士能否帮我稍微理一下,拜谢.

Answer 1

可以这么看,
假设F(x)=∫f(x)dx
则：F'(x)=f(x)
(x∫[0,x]f(u)du)'=(xF(x)-xF(0))'=F(x)+xF'(x)-F(0)=F(x)+xf(x)-F(0)
(∫[0,x]f(u)du)'=(F(x)-F(0))'=F'(x)=f(x)
(∫[0,x][∫[0,u]f(t)dt]du)' =(∫[0,x][F(u)-F(0)]du)'=F(x)-F(0)
所以,原式的导数=xf(x)-f(x)=(x-1)f(x)
不会等于零啊,除非是求x=1这点的导数.
你再仔细核对一下原题吧