如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，M为DE中点，AM与BE相交于点N，AD与BE相交于点F．求证：（1）DECE=ADCD；（2）△BCM∽△ADM；（3）AM⊥BE．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，M为DE中点，AM与BE相交于点N，AD与BE相交于点F．求证：
（1）(DE)/(CE)=(AD)/(CD)；
（2）△BCM∽△ADM；
（3）AM⊥BE．

Answer 1

（1）∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=90°，又∠C=∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴(DE)/(AD)=(CE)/(DC)，即(DE)/(CE)=(AD)/(CD)；
（2）∵∠ADC=∠DEC=90°，
∴∠ADM+∠EDC=90°，∠EDC+∠BCE=90°，
∴∠ADM=∠BCE，
又∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即BD=CD=(1)/(2)BC，
∵M为DE的中点，
∴DM=EM=(1)/(2)DE，
由（1）得(DE)/(CE)=(AD)/(CD)，即((1)/(2)DE)/(CE)=(QD)/(2DC)，
∴(DM)/(CE)=(AD)/(BC)，
∴△BCE∽△ADM；

（3）证明：∵△BCE∽△ADM，
∴∠CBE=∠DAM，又∠BFD=∠AFN，
∴△BFD∽△AFN，
∴∠BDF=∠ANF，又∠BDF=90°，
∴∠ANF=90°，
AM⊥BE．