如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为斜边向外作等腰Rt△ACD，连接BD．（1）AB=BC=2，求BD的长；（2）若AB+BC=4，求BD的长．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为斜边向外作等腰Rt△ACD，连接BD．

（1）AB=BC=2，求BD的长；
（2）若AB+BC=4，求BD的长．

Answer 1

解（1）∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵在等腰Rt△ACD，∠DAC=∠DCA=45°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴BD=AC=√(22+22)=2√(2)；
（2）过D作DF⊥BC于F，过A作AM⊥DF于M，
∵∠ABC=90°，
∴∠AMD=∠DFB=90°，∠ABC=∠BFM=∠AMF=90°，
∴四边形ABFM是矩形，
∴AM=BF，AB=MF，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ADC=90°，DA=DC，
∴∠ADM+∠CDF=90°，
又∵∠AMD=90°，
∴∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠CDF=∠DAM，
在△ADM和△DCF中

∠DAM=∠CDF

∠AMD=∠DFC

OA=OC

∴△ADM≌△DCF（AAS），
∴AM=DF，DM=FC，
∴DF=BF，
∵∠BFD=90°，
∴△BFD是等腰直角三角形，
∵DF+BF=DM+MF+BC-FC=AB+BC=4，
∴DF=BF=2，
∴BD=√(BF2+DF2)=2√(2)．