问题情境如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．探究展示（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明

Question

【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】

（1）证明：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠ENC，
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE，
∴∠ENC=∠MAE，
∴MA=MN，
在△ADE和△NCE中，

∠DAE=∠CNE

∠AED=∠NEC

DE=CE

，
∴△ADE≌△NCE（AAS），
∴AD=NC，
∴MA=MN=NC+MC=AD+MC；
（2）AM=DE+BM成立，理由为：
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE，
在△ABF和△ADE中，

∠FAB=∠EAD

AB=AD

∠ABE=∠D=90°

，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴BF=DE，∠F=∠AED，
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE，
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠FAB=∠FAM，
∴∠F=∠FAM，
∴AM=FM，
∴AM=FB+BM=DE+BM．