如图，已知正方形ABCD，AB=4，动点M、N分别从D、B两点同时出发，且都以1个单位/秒的速度匀速运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥AD，交AC于点P，连结NP．设运动时间

Question

如图，已知正方形ABCD，AB=4，动点M、N分别从D、B两点同时出发，且都以1个单位/秒的速度匀速运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥AD，交AC于点P，连结NP．设运动时间为x秒．

（1）PM的长为___（用含x的代数式表示）；
（2）试求△NPC的面积S与时间x的函数表达式并写出定义域；
（3）当△NPC为一个等腰三角形时，求出所有满足条件的x值．

Answer 1

（1）由题意知：MD=x，则AM=4-x，
∵四边形ABCD正方形，
∴CD⊥AD，
∵MP⊥AD，
∴MP∥CD，
∴△AMP∽△ADC，
∴(AM)/(AD)=(PM)/(CD)，
∴(4-x)/(4)=(PM)/(4)，
∴PM=4-x，
故答案为：4-x；

（2）如图1，延长MP交BC于Q点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCD=90°，AB=BC=CD=4，
∵MP⊥AD，
∴∠PMD=90°，
∴四边形MQCD是矩形，
∴∠PQC=90°，MQ=CD，
∴PQ⊥NC，
∵CD=4，
∴MQ=4，
由（1）知MP=4-x，
∴PQ=x，
据题意得 BN=x，
∴CN=4-x，
∴S=(1)/(2)NC•PQ=(1)/(2)x（4-x）=2x-(1)/(2)x²（0<x<4）；

（3）当CN=PN时 如图2，
∴∠NPC=∠NCP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠NCP=45°，
∴∠PNC=90°，
CN=4-x，PN=x，
∴x=2，
当CN=CP时，如图3，CN=4-x，CQ=MD=x
等腰直角三角形 PQC中，CP=√(2)CQ=√(2)x，
∴x=4√(2)-4，
当PN=CP时，如图4，
∴∠PNC=∠PCN=45°，
∴∠NPC=90°，
∵PQ⊥NC∴Q是NC的中点，
∴NC=2PQ，
∴x=(4)/(3)．