一道高等代数关于迹Tr的问题(1)证明,若一复方阵的所有特征值全为0,则A为幂零矩阵;(2)证明对于任意n阶复方阵X,A及任意非负整数k,有Tr(X^k(AX-XA))=0;(3)证明矩阵方程AX-XA=X^p(p为正整数)的任一解都

Question

一道高等代数关于迹Tr的问题
(1)证明,若一复方阵的所有特征值全为0,则A为幂零矩阵;
(2)证明对于任意n阶复方阵X,A及任意非负整数k,有Tr(X^k(AX-XA))=0;
(3)证明矩阵方程AX-XA=X^p (p为正整数)的任一解都是幂零阵;
第一问解决了,第2,

Answer 1

(1) 特征多项式为x^n,再用Cayley-Hamilton定理.
(2) Tr的两个性质：Tr(A-B)=Tr(A)-Tr(B)；Tr(AB)=Tr(BA).所以
Tr(X^k(AX-XA))
=Tr((X^k*A)*X)-Tr(X^k*X*A)
=Tr(X*(X^k*A))-Tr(X^k*X*A)
=Tr(X^(k+1)*A)-Tr(X^(k+1)*A)
=0.
(3) 设X满足AX-XA=X^p,X的全部特征值为a1,...,an.由(1),只需证明a1=...=an=0.特征值的两个性质：X^t的全部特征值为a1^t,...,an^t；Tr等于全部特征值的和.所以由(2),对任意非负整数k,有
0=Tr(X^k(AX-XA))
=Tr(X^k*X^p)
=Tr(X^(k+p))
=a1^(k+p)+...+an^(k+p).
换而言之,对任意整数t>=p有a1^t+...+an^t=0.所以a1=...=an=0.