（2006•厦门）如图，点在⊙O的直径AB交TP于P，若PA=18，PT=12，PB=8．（1）求证：△PTB∽△PAT；（2）求证：PT为⊙O的切线；（3）在AT上是否存在一点C，使得BT2=8TC？若存在，请证明；若不存在，

Question

（2006•厦门）如图，点在⊙O的直径AB交TP于P，若PA=18，PT=12，PB=8．
（1）求证：△PTB∽△PAT；
（2）求证：PT为⊙O的切线；
（3）在

AT

上是否存在一点C，使得BT²=8TC？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠P=∠P，
∵PT²=PA•PB，
∴(PT)/(PB)＝(PA)/(PT)．
∴△PTB∽△PAT．

（2）证明：连接OT，
∵PO²-PT²=OT²，
∴在△ABC中，∠PTO=90°．
∵T为⊙O上一点，
∴PT为⊙O的切线．
（3）在AT弧上存在一点C，使得BT²=8TC
证明：∵∠ABT 是△PBT的一个外角
∴∠ABT＞∠P
过点B作BC交AT弧于点C，使∠CBT=∠P
连OT，则OT⊥PT，
∴∠1+∠PTB=90°，
而∠1+∠2=90°，∠2=∠A，
∴∠PTB=∠A，
而∠A=∠C，
∴∠PTB=∠C，
∴△PBT∽△BTC
∴BT：TC=PB：BT
又∵PB=8，
∴BT²=8TC，即在AT弧上存在一点C，使得BT²=8TC．