已知函数f（x）=1x．（1）若f(a)•(e-1)=∫e1f(x)dx，求a的值；（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得f(a)•(t-1)=∫t1f(x)dx成立？并给予证明；（3）结合定积分的几何意

Question

已知函数f（x）= (1)/(x) ．
（1）若 f(a)•(e-1)=

∫

e1

f(x)dx ，求a的值；
（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得 f(a)•(t-1)=

∫

t1

f(x)dx 成立？并给予证明；
（3）结合定积分的几何意义说明（2）的几何意义．

Answer 1

（1）∵ f(a)•(e-1)=

∫

e1

f(x)dx ，∴ (1)/(a) •(e-1)=

∫

e1

(1)/(x) dx=lnx

|

e1

=，1∴a=e-1 …（3分）
（2）

∫

t1

f(x)dx=

∫

t1

(1)/(x) dx=lnx

|

t1

=lnt
设 (1)/(a) •(t-1)=lnt ，∴ a=(t-1)/(lnt) …（5分）
下面证明a∈[1，t]： a-1=(t-1)/(lnt) -1=(t-1-lnt)/(lnt)
设g（t）=t-1-lnt（t＞1）则 g ′ (t)=1-(1)/(t) =(t-1)/(t) ＞0(∵t＞1)
∴g（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）
a-t=(t-1)/(lnt) -t=(t-1-tlnt)/(lnt)
设h（t）=t-1-tlnt（t＞1）则 h ′ (t)=1-(1•lnt+t•(1)/(t) )=-lnt＜0(∵t＞1)
∴h（t）在（1，+∞）上为减函数，当t＞1时h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
综上：当t＞1时，存在a∈[1，t]使得 f(a)•(t-1)=

∫

t1

f(x)dx 成立．…（11分）
（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x ₀ 的函数值f（x ₀ ）与该区间长度的积，即

∫

ba

f(x)dx=f( x 0 )•(b-a) 其中x ₀ ∈[a，b]…（14分）