（2013•青浦区一模）正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是934934．

Question

（2013•青浦区一模）正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是

(9√(3))/(4)

(9√(3))/(4)

．

Answer 1

由已知条件可得∠A₁F₁A₂=A₂A₁F₁=30°，∠A₁A₂F₁=120°，
所以△A₁A₂F₁是等腰三角形，可得A₁A₂=(√(3))/(3)，
同理在△F₁F₂E₁中可得F₂E₁=(√(3))/(3)，
故F₂A₁=A₁E₁-A₁A₂-F₂E₁=(√(3))/(3)，
即正六边形AA₂B₂C₂D₂E₂F₂，与正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的相似比等于(√(3))/(3)，
故面积之比为((√(3))/(3))2=(1)/(3)，
可正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的面积S₁=6×(1)/(2)×1×1×(√(3))/(2)=

作业帮用户 2017-11-12 举报

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问题解析

由平面几何的知识可得F₂A₂=

(√(3))/(3)，即正六边形AA₂B₂C₂D₂E₂F₂，与正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的相似比等于(√(3))/(3)，可得面积之比为((√(3))/(3))2=(1)/(3)，故正六边形的面积构成以(3√(3))/(2)为首项，(1)/(3)为公比的等比数列，代入求和公式可得．

名师点评

本题考点：

进行简单的演绎推理．

考点点评：

本题考查无穷递缩等比数列的所有项和的求解，涉及平面多边形的面积的求解，属基础题．

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