在长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是AB上的动点（1）若直线D1E与EC垂直，请你确定点E的位置，并求出此时异面直线AD1与EC所成的角（2）求在（1）的条件下求二面角D1-EC-D所对应

Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB上的动点
（1）若直线D₁E与EC垂直，请你确定点E的位置，并求出此时异面直线AD₁与EC所成的角
（2）求在（1）的条件下求二面角D₁-EC-D所对应的平面角的余弦值．

Answer 1

如图，
（1）由D₁E与EC垂直⇒DE与CE垂直
设AE=x，在直角三角形DEC中求得x=1
所以点E是AB的中点
取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以∠D₁AQ是所求的角
求解△D₁AQ得∠D₁AQ=(π)/(3)，所以异面直线AD₁与EC所成的角为(π)/(3)． 
（2）由D₁E⊥EC，∴DE与CE垂直，
所以∠D₁ED是所求D₁-EC-D的平面角，
在直角三角形D₁ED 中，cos∠D₁ED=(DD1)/(D1E)＝(√(6))/(3)．