如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求点A1到平面B1BCC1的距离；（3）求二面角A1-BC1-B1的正弦值．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）求点A₁到平面B₁BCC₁的距离；
（3）求二面角A₁-BC₁-B₁的正弦值．

Answer 1

（ I）证明：因为AA₁C₁C为正方形，所以AA₁⊥AC．
因为平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
且AA₁垂直于这两个平面的交线AC，
所以AA₁⊥平面ABC．
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁C₁C是边长为4的正方形，
平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5，
∴AC⊥AB，
以A为原点，AC为x轴，A耿y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（0，0，4），C（4，0，0），B（0，3，0），C₁（4，0，4），A₁（0，0，4），

CA1

=（4，0，-4），

CC1

=（0，0，4），

CB

=（-4，3，0），
设平面B₁BCC₁的法向量

n

＝(x，y，z)，
则

n

•

CC1

＝4z＝0

n

•

CB

＝−4x+3y＝0

，取x=3，得

n

=（3，4，0），
∴点A₁到平面B₁BCC₁的距离d=(|CA1•n|)/(|n|)=(|12|)/(5)=(12)/(5)．
（3）

A1C1

=（4，0，0），

A1B

=（0，3，-4），
设平面A₁BC₁的法向量

m

＝(a，b，c)，
则

m

•

A1C1

＝4a＝0

m

•

A1B

＝3b−4c＝0

，取b=4，得

m

＝(0，4，3)，
设二面角A₁-BC₁-B₁的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|(16)/(5×5)|=(16)/(25)，
∴sinθ=√(1−((16)/(25))2)=(3√(41))/(25)．
∴二面角A₁-BC₁-B₁的正弦值为(3√(41))/(25)．