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已知,a+b+c=a2+b2+c2=a3+b3+c3=1求证abc=0
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已知,a+b+c=a2+b2+c2=a3+b3+c3=1 求证abc=0
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答案和解析
∵(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
又∵a^2+b^2+c^2=1
∴2ab+2bc+2ac=0
∴ab+bc+ac=0
∵(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a*b^2+3a*c^2+3a^2*b+3a^2*c+3b^2*c+3b*c^2+6abc
又∵a^3+b^3+c^3=1
∴3a*b^2+3a*c^2+3a^2*b+3a^2*c+3b^2*c+3b*c^2+6abc=0
∴3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc=0
又∵ab+bc+ac=0
∴abc=0
又∵a^2+b^2+c^2=1
∴2ab+2bc+2ac=0
∴ab+bc+ac=0
∵(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a*b^2+3a*c^2+3a^2*b+3a^2*c+3b^2*c+3b*c^2+6abc
又∵a^3+b^3+c^3=1
∴3a*b^2+3a*c^2+3a^2*b+3a^2*c+3b^2*c+3b*c^2+6abc=0
∴3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc=0
又∵ab+bc+ac=0
∴abc=0
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