（文科做）已知点A1（2，0），A2（1，t），A3（0，b），A4（-1，t），A5（-2，0），其中t＞0，b为正常数．（1）半径为2的圆C1经过Ai（i=1，2，…，5）这五个点，求b和t的值；（2）椭圆C2以F1（-c

Question

（文科做）已知点A₁（2，0），A₂（1，t），A₃（0，b），A₄（-1，t），A₅（-2，0），其中t＞0，b为正常数．
（1）半径为2的圆C₁经过A_i（i=1，2，…，5）这五个点，求b和t的值；
（2）椭圆C₂以F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）为焦点，长轴长是4．若A_iF₁+A_iF₂=4（i=1，2，…，5），试用b表示t；
（3）在（2）中的椭圆C₂中，两线段长的差A₁F₁-A₁F₂，A₂F₁-A₂F₂，…，A₅F₁-A₅F₂构成一个数列{a_n}，求证：对n=1，2，3，4都有a_n+1＜a_n．（本小题解答中用到了椭圆的第一定义与焦半径公式，新教材实验区的学生可不解第三小题，请学习时注意）

Answer 1

（1）∵A₁A₅=4，则A₁A₅为⊙C₁的直径，∴圆心为A₁，A₅的中点（0，0）
∴⊙C₁的方程是x²+y²=4，
∵A₂（1，t），A₃（0，b）在圆上，
∴b=2，t＝√(3)；
（2）∵椭圆C₂以F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）为焦点，长轴长是4，
∴椭圆C₂的方程是(x2)/(4)+(y2)/(b2)＝1，将A₂（1，t）代入，
得(12)/(4)+(t2)/(b2)＝1，得t＝(√(3))/(2)b；
（3）设A_i的坐标是（x_i，y_i），∵椭圆C₂的左准线为x＝−(a2)/(c)，
∴(AiF1)/(xi+(a2)/(c))＝e，则AiF1＝e(xi+(a2)/(c))＝exi+a，（其中e＝(c)/(a)为椭圆的离心率）
A_iF₁-A_iF₂=2A_iF₁-2a=2ex_i
由于{x_i}递减，则对n=1，2，3，4都有a_n+1＜a_n．