已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，且经过点(1，32)．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m（定值m

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为(1)/(2)，且经过点(1，(3)/(2))．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k₁，k₂满足k₁+k₂=m（定值m≠0），求直线l的斜率．

Answer 1

（1）∵椭圆离心率为(1)/(2)，
∴e＝(c)/(a)＝(1)/(2)，∴a＝2c，b＝√(3)c（2分）
又椭圆经过点(1，(3)/(2))，∴(1)/(4c2)+(((3)/(2))2)/(3c2)＝1
解得c=1，∴a＝2，b＝√(3)（3分）
∴椭圆C的方程是(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1…（4分）
（2）若直线l斜率不存在，显然k₁+k₂=0不合题意    …（5分）
设直线方程为l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立方程组

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

y＝k(x−1)

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0…（7分）
∴x1+x2＝(8k2)/(3+4k2)，x1•x