在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2∥平面A1ADD1．（1）证明：P1P2⊥A1D；（2）求四面体P2P1AB1的体积最大值．

Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P₁，P₂分别是线段AB，BD₁（不包括端点）上的动点，且线段P₁P₂∥平面A₁ADD₁．
（1）证明：P₁P₂⊥A₁D；
（2）求四面体P₂P₁AB₁的体积最大值．

Answer 1

（1）连接AD₁，A₁D．AD₁为平面ABD₁与平面ADD₁A₁的交线
∵P₁P₂∥平面ADD₁A₁，∴P₁P₂∥AD₁
又∵平面ADD₁A₁为正方形，∴A₁D⊥AD₁．∴P₁P₂⊥A₁D．
（2）过P₂做P₂O⊥BD与O点，连接OP₁∵P₂O⊥BD，∴P₂O∥DD₁，P₁P₂∩P₂O=P₂
∴平面ADD₁A₁∥平面P₁OP₂，∵P₁O、AB为平面ABCD与两平行平面的交线，
∴AD∥OP₁，又AD⊥AB，∴OP₁⊥AB，OP₁⊥平面ABB₁，
设正方体的棱长为1，AP₁=x，则OP₁=P₁B=1-x，
∴VP2−P1AB1=(1)/(3)×(1)/(2)×AP₁×BB₁×OP₁=(1)/(6)x(1−x)≤(1)/(6)×((x+1−x)/(2))2=(1)/(24)，
当x＝(1)/(2)时，最大值为(1)/(24)．