已知正项等差数列{an}中，a1=1，且a3，a7+2，3a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设{an}的前n项和为，试问当n为何值时，f（n）最大，并求出f（n）的最大值．

Question

已知正项等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₃，a₇+2，3a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{a_n}的前n项和为，试问当n为何值时，f（n）最大，并求出f（n）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a3，a7+2，3a9成等比数列，求出数列的公差，然后求数列{an}的通项公式；（2）求出数列{an}的前n项和为，化简表达式，利用基本不等式去，求解f（n）最大值，并求出f（n）的最大值．（1）设公差为d，则a3=1+2d，a7=1+6d，a9=1+8d…（2分）∵a3，a7+2，3a9成等比数列，∴（3+6d）2=3（1+2d）（1+8d）…（3分）∴2d2-d-1=0，∵d＞0，∴d=1，∴an=1+（n-1）•1=n．…（6分）（2）∵，∴．…（8分）∴==…（12分）当且仅当，即n=6时，f（n）取得最大值．…（14分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，注意数列的通项公式与前n项和的应用，考查数列的函数特征，考查计算能力．