已知数列{an}为等比数列．（1）a52=a3•a7是否成立？a52=a1•a9成立吗？为什么？（2）an2=an-1•an+1（n>1）是否成立？你据此能得到什么结论？（3）an2=an-k•an+k（n>k>0）是否成立？你又能得

Question

已知数列{a_n}为等比数列．
（1）a₅²=a₃•a₇是否成立？a₅²=a₁•a₉成立吗？为什么？
（2）a_n²=a_n-1•a_n+1（n>1）是否成立？你据此能得到什么结论？
（3）a_n²=a_n-k•a_n+k（n>k>0）是否成立？你又能得到什么结论？

Answer 1

（1）∵数列{a_n}为等比数列，设首项为a₁，公比为q，
∴a₅²=(a1q4)2=a12q8，a₃•a₇=(a1q2)(a1q6)=a12q8，则a₅²=a₃•a₇ ．
又a1a9=a1•a1q8，则a₅²=a₁•a₉ ；
（2）a_n²=(a1qn-1)2=a12q2n-2，a_n-1•a_n+1=(a1qn-2)(a1qn)=a12q2n-2，∴a_n²=a_n-1•a_n+1．
由此可得：等比数列中，除首项和末项外，其它任何一项都是与它相邻两项的等比中项；
（3）a_n²=(a1qn-1)2=a12q2n-2，a_n-k•a_n+k=(a1qn-k-1)(a1qn+k-1)=a12q2n-2，∴a_n²=a_n-k•a_n+k ．
由此可得：等比数列中，除首项和末项外，其它任何一项都是与它等距离两项的等比中项