等比数列{an}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4=4a32．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an+1(1-an)(1-an+1)，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，2a₅，a₄，4a₆成等差数列，且满足a₄=4a₃²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=(an+1)/((1-an)(1-an+1))，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（I）设等比数列{a_n}的公比为q>0，∵2a₅，a₄，4a₆成等差数列，∴2a₄=2a₅+4a₆，∴2a₄=2a₄（q+2q²），
化为：2q²+q-1=0，q>0，解得q=(1)/(2)．
又满足a₄=4a₃²，∴a1q3=4(a1q2)2，化为：1=4a₁q，解得a₁=(1)/(2)．
∴a_n=((1)/(2))n．
（II）b_n=(an+1)/((1-an)(1-an+1))=(2n)/((2n-1)(2n+1-1))=(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1-1)，n∈N^*，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=((1)/(2-1)-(1)/(22-1))+((1)/(22-1)-(1)/(23-1))+…+((1)/(2n-1)-(1)/(2n+1-1))
=1-(1)/(2n+1-1)，n∈N^*．