设A为三阶实对称矩阵,且满足A^2+A-2E=0,已知向量a1=(0,1,1)^T,a2=(1,0,1)^T,是A对应特征值D=1的特征向量,a3=(1,0,-1)^t是另一个特征值的特征向量,求A^n

Question

设A为三阶实对称矩阵,且满足A^2+A-2E=0,已知向量a1=(0,1,1)^T,a2=(1,0,1)^T,是A对应特征值D=1的特征向量,a3=(1,0,-1)^t是另一个特征值的特征向量,求A^n

Answer 1

A^2+A-2E=0,∴λ²+λ-2＝0 λ1＝1 λ2＝-2
-2的特征向量a3=(x,y,z)^T 满足a3⊥a1,a3⊥a2 即y+z＝0 x+z＝0 例如a3＝﹙1,1,-1﹚^T
取b1＝a1 b2＝a2+ka1⊥a1 k＝-1/2 b2＝﹙1,-1/2,-1/2﹚^T [正交化]
得到正交矩阵 Q＝﹙b1/√2,2b2/√6,a3/√3﹚ A＝Qdiag﹙1,1,-2﹚Q^T
A^n＝Qdiag﹙1,1,-2^n﹚Q^T [具体数字结果麻烦楼主慢慢算啦!]