如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC．求证：EF∥BD1．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别在A₁D，AC上，且EF⊥A₁D，EF⊥AC．求证：EF∥BD₁．

Answer 1

证明：连结A₁C₁，由于AC∥A₁C₁，EF⊥AC，
∴EF⊥A₁C1，
又EF⊥A₁D，A₁D∩A₁C₁=A₁，
∴EF⊥平面A₁C₁D，①
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥A₁C₁，
又A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵BB₁∩B₁D₁=B₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
而BD₁⊂平面BB₁D₁D，
∴BD₁⊥A₁C₁，
同理，DC₁⊥BD₁，DC₁∩A₁C₁=C₁，
∴BD₁⊥平面A₁C₁D，②
由①②，得EF∥BD₁．