关于曲线C：x2+y4=1，给出下列四个命题：①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C上的点到原点距离的最小值为12；③曲线C的长度l满足l>4

Question

关于曲线C：x²+y⁴=1，给出下列四个命题：
①曲线C有两条对称轴，一个对称中心；  
②曲线C上的点到原点距离的最小值为 (1)/(2)；
③曲线C的长度l满足l>4 √(2)；     
④曲线C所围成图形的面积S满足π<S<4．
上述命题中，则真命题的个数有___个．

Answer 1

设P（x，y）是曲线上一点，则P关于x轴的对称点（x，-y）显然也在曲线C上，
∴曲线C关于x轴对称，
同理可得曲线C关于y轴对称，关于原点对称，故①正确；
∵x²=1-y⁴=（1-y²）•（1+y²）≥（1-y²），∴x²+y²≥1，即√(x2+y2)≥1．
∴曲线上任意一点到原点的距离最小值为1，（当且仅当y=0时，x等于1）
故②错误；
由②可得，曲线C所上的点在单位圆x²+y²=1的外部或圆上，∴S>π，
由x²+y⁴=1可得|x|≤1，|y|≤1，（不能同时取1）
∴曲线C上的点在以2为边长的正方形ABCD内部或边上，∴S<4，
故④正确；
设曲线C的上顶点为M，右顶点为N，则MN=√(2)，
由两点之间线段最短可知曲线C在第一象限内的长度大于√(2)，
同理曲线C在每一象限内的长都大于√(2)，故l>4√(2)，故③正确．
故答案为：3．