现有一条线段,在这个线段的中垂线上有一个点(定点),线段长度一定.把这个点与线段上的无数个点连接.求这些连接所得的线段的长的平均值.定点到直线距离是一定的有人说是定点直线的距离

Question

现有一条线段,在这个线段的中垂线上有一个点(定点),线段长度一定.把这个点与线段上的无数个点连接.求这些连接所得的线段的长的平均值.
定点到直线距离是一定的
有人说是定点直线的距离,应该不是把.这个应该是最短距离,不可能是平均距离
还有人不

Answer 1

设线段长a,顶点到线段距离为b,把线段分成n小段长Δx的小线段去考虑.
每一条连接所得的线段长度为Si=√(b^2+(iΔx)^2)(-n/2≤i≤n/2)
所有线段总长度S=sigma(-n/2≤i≤n/2)√(b^2+(iΔx)^2)
线段平均长度=S/n=S/(a/Δx)=SΔx/a
令Δx->0,那么平均长度就等于积分
1/a*∫(-a/2->a/2)√(b^2+x^2)dx
=(√(a^2/4+b^2)*a/2+b^2/2*(ln(√(a^2/4+b^2)+a/2)-ln(√(a^2/4+b^2)-a/2))/a
=(√(a^2/4+b^2)/2)+b^2/2a*(ln(√(a^2/4+b^2)+a/2)-ln(√(a^2/4+b^2)-a/2))
这是一个很复杂的表达式