微分方程问题y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)y1(x),y2(x),y3(x)是此方程的三个特解为什么其一个通解为C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3?

Question

微分方程问题
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
y1(x),y2(x),y3(x)是此方程的三个特解
为什么其一个通解为C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3?

Answer 1

微分方程的通解=齐次方程通解+非齐次方程特解
y1,y2,y3为非齐次方程的3个特解,那么(y1-y3),(y2-y3)就是齐次方程的两个特解.
如果(y1-y3),(y2-y3)不成比例的话,齐次方程的通解可表示为:
C1(y1-y3)+C2(y2-y3)
那么原方程的通解为:
C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3