已知抛物线C：y2=2px与点N（-2，2），过C的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，若NA⊥NB，则p=（）A.-2B.2C.-4D.4

Question

已知抛物线C：y²=2px与点N（-2，2），过C的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，若NA⊥NB，则p=（　　）

A. -2

B. 2

C. -4

D. 4

Answer 1

设直线方程为y=2（x-(p)/(2)），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
代入抛物线方程，整理得4x²-6px+p²=0，
∴x₁+x₂=(3)/(2)p，x₁x₂=(1)/(4)p²，
由NA⊥NB，
得（x₁+2，y₁-2）•（x₂+2，y₂-2）=（x₁+2）（x₂+2）+[2（x₁-(p)/(2)）-2][2（x₂-(p)/(2)）-2]=0，
代入整理得3p²-4p-32=0，
∵p>0，∴解得p=4．
故选D．